Hey,
ich versuche es relativ kurz zu beantworten:
1. Pflegeheim
Wenn die Sozialhilfe einspringen muss, wird man alle unterhaltspflichtigen Angehörigen heranziehen. dazu gehörst auch erst mal Du als leibliche Tochter. Wenn Dein Einkommen/vermögen über den Freigrenzen liegt, ist es sher schwierig aus der Nummer rauszukommen. Dass die Mutter während die eigenen Pflichten vernachlässigt hat, also sich weder gekümmert noch Unterhalt gezahlt hat, ist eigentlich das einzige Argument, das zieht. das ist aber so kompliziert, dass Du, wenn es soweit kommt, einen spezialisierten Rechtsanwalt brauchst.
2. Der gesetzliche Erbteil wäre bei Zugewinngemeinschaft die Hälfte für den Ehemann. Die vier Kinder teilen sich die andere Hälfte, dass heißt für Dich 12,5 %. Die Beerdigungskosten und Schulden werden vorab aus dem Erbe beglichen. Wenn das Erbe nicht ausreicht, um die Schulden zu decken, ist man gut beraten, es auszuschlagen. Dann ist man die Schulden los, die Beerdigungskosten aber nicht.
3. Unabhängig von der Frage, ob man das Erbe ausschlägt, ist man als Kind (und Ehemann) bestattungspflichtig. Wenn es am Ende darauf hinausläuft, dass alle verwandten das Erbe ausschlagen und das Sozialamt Deine Mutter beerdigen muss, wird es sich die Kosten dafür von den bestattungspflichtigen Angehörigen - und damit auch Dir - zurück holen. Einzelheiten sind dazu in den Bestattungsgesetzen der Bundesländer geregelt, d.h. wenn Du mir sagst, in welchem Bundesland Deine Mutter lebt, kann ich mehr dazu sagen.
Viele Grüße pmami